教学中重视转化思想的渗透

教学中重视转化思想的渗透

           曲阳一中  庞英璞    2010-1-30

转化与化归思想是高中数学学习中的重要思想方法之一，利用转化与化归思想，可以将复杂问题转化为简单问题，抽象问题转化为具体问题，生疏问题转化为熟悉问题，代数问题转化为几何问题，高次的转化为低次的等等，从而使问题变得容易解决，同时，也会培养学生的思维灵活性，开阔学生的思路，提高解决问题的能力。下面结合自己的教学实践进行一些阐释。

一、数形转化  由抽象变形象

解析几何是用解析法研究几何问题的学科，学科本身就充分体现了数与形的完美结合，数变形，形变数，在变化中求得问题的有效解决。在教学中会遇到一些看似数或式的问题，若一味按代数方法解决会很麻烦，若转化为形的问题则变得较易解决。

案例1.方程 |x+1|=x+a 只有一个实数解，求实数a的取值范围。

学生思考此问题时，容易想到将方程的两边平方化为一元二次方程，再利用判别式解决，但平方后的方程与原方程并非等价，若考虑等价性还需要附加条件，这就不易求的结果。|

若设 。     

 问学生：两个函数的图像交点与原方程的解有何关系？学生思考后会明白，两图像交点个数与原方程解的个数一致。从而问题就转化为： 函数

 与 的图像有且只有一个交点，求的取值范围。

在同一坐标系中作出两个函数的图像，经过分析图像很容易求得的取值范围是   +）。

案例2，求  的最大值与最小值。

看到此题，学生仍然习惯于对代数式进行变形，利用代数方法求其最大值和最小值，这样就会陷入繁琐的式子的化简，并且很难求出结果。分析此题时，我对学生进行了引导，将其与由两点求直线斜率公式对比，会发现什么？经过思考和讨论后，有的学生就看到，此代数式可看作动点与定点连线的斜率，因此，原问题转化为：求动直线斜率的最大值和最小值。

设  ， ，可知动点在单位圆上移动，结合图像分析易知，直线为圆的两条切线时其斜率分别为最小值和最大值，并易求得最大值为 ，最小值为 。

二．代换或换元   由复杂变简单

有些问题面对原始的式子或在求解过程中出现的式子，如果按着原来的变量整理求解是比较复杂或困难的，如果进行适当的代换或换元，再加以解决就会变得容易多了。

案例3. 解不等式  < 。

解此不等式时，若按含绝对值不等式求解，则转化为两个二次不等式；若平方后去掉绝对值符号，则升为4次高次不等式。运算量都比较大。下面采取换元法求解。

设 ，则原不等式转化为 <  ,易得0<t<1 ,再由0<|x-1|<1

得 -1< x-1 <1 ,且x-10 。即得原不等式的解集 且 ，通过换元再解不等式，大大减小了运算量，做到了即快速又准确求出了不等式的解。

案例4. 已知定点 为椭圆  的右焦点，点在椭圆上移动，求  的最小值。

此题应用两点间的距离公式直接把表示成动点M坐标的关系式，再用代数方式求解就困难了，若直接考虑几何意义，也很难确定点M的位置。联系椭圆的第二定义，将|,MF|代换为点M到右准线的距离 |MD ，|即 =|MA|+2e|MD|。结合图像可知，当M、 A 、D三点共线时，其值最小，且最小值为A点到右准线的距离10。

三．思维方式的转化  由茫然变豁然

正向思维，有题设条件经演绎推理得出结论，是学生最常见的思维方式。但是，形成了这种思维定势，有时会阻塞思维活动，陷入困境。教学中，根据一些题型引导学生运用逆向思维方式，用特例检验的思维方式，运动变化的思维方式等。可起到事半功倍的作用，使学生体会变换思维方式带来的方便。

案例5 .过抛物线y=ax(a>0)的焦点F做一直线交抛物线于P、Q两点。若|PF|=ｐ,|QF|=q ,则+=(　　)

Ａ、２ａ　　Ｂ、４ａＣ、　　Ｄ、

此题若用常规的思维方式会设直线方程，与抛物线方程联立，再根据韦达定理求解。过程会很复杂。注意到四个选择支的确定性，应想到结论与直线ＰＱ的位置没有关系，因而可选择ＰＱ为抛物线的通径的特殊位置来求解。此时+=，可设Ｐ（ｐ，），代入抛物线方程可得

，＝ａｐ，根据抛物线定义得　ｐ＝ａｐ＋，即

（２ａｐ－１）＝０　得 P＝ 故＝４ａ，所以选Ｂ。

转化还包括语言形式的转化，动态与静态的转化等不同形式，在教学过程中应有意识引导学生，经常给学生渗透这种思想，使他们逐渐建立这种思想意识，对提高解题能力，培养综合应用的能力，是很有必要的。